（2009•闵行区一模）已知等差数列an中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2•a3=45，a1+a4=14．
（2009•闵行区一模）已知等差数列an中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2•a3=45，a1+a4=14．
（1）求数列an的通项公式；
（2）设由bn＝
（c≠0）构成的新数列为bn，求证：当且仅当c＝−
时，数列bn是等差数列；
（3）对于（2）中的等差数列bn，设cn＝
（n∈N*），数列cn的前n项和为Tn，现有数列f（n），f(n)＝
−Tn（n∈N*），
求证：存在整数M，使f（n）≤M对一切n∈N*都成立，并求出M的最小值．
（1）求数列an的通项公式；
（2）设由bn＝
| Sn |
| n+c |
| 1 |
| 2 |
（3）对于（2）中的等差数列bn，设cn＝
| 8 |
| (an+7)•bn |
| 2bn |
| an−2 |
求证：存在整数M，使f（n）≤M对一切n∈N*都成立，并求出M的最小值．
赞 aquriuschen 春芽
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解题思路：（1）根据题意，由等差数列的性质，有a1+a4=a2+a3=14，与a2•a3=45联立，计算可得数列{an}的通项公式；
（2）首先计算Sn，代入数列 {
}，可得其通项公式，运用等差中项的性质分析，可得答案．
（3）根据题意，对于存在性问题，可先假设存在，即存在整数M，使f（n）≤M对一切n∈N*都成立，再将数列{an}的通项公式代入bn可得bn的通项公式，进而运算消项求和法，求出M的最小值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
（2）首先计算Sn，代入数列 {
| Sn |
| n+c |
（3）根据题意，对于存在性问题，可先假设存在，即存在整数M，使f（n）≤M对一切n∈N*都成立，再将数列{an}的通项公式代入bn可得bn的通项公式，进而运算消项求和法，求出M的最小值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
（1）∵等差数列an中，公差d＞0，
∴
a2•a3＝45
a1+a4＝14⇒
a2•a3＝45
a2+a3＝14⇒
a2＝5
a3＝9⇒d＝4⇒an＝4n−3（4分）
（2）Sn＝
n(1+4n−3)
2＝n(2n−1)，bn＝
Sn
n+c=
n(2n−1)
n+c，（6分）
由2b2=b1+b3得
12
2+c＝
1
1+c+
15
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等差数列的性质．
考点点评： 本题考查等差数列的通项公式的运用，注意结合等差数列的性质分析，可以减少运算量，降低难度．
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