(2012•太原模拟)已知定义在R上的函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且x∈(-∞,0)时,f(x)+x

(2012•太原模拟)已知定义在R上的函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0成立,(其中f′(x)是f(x)的导函数),a=(30.3)f(30.3),b=(logπ3).f(logπ3),c=(log3
1
9
)f(log3
1
9
)
则a,b,c的大小关系是(  )
A.a>b>c
B.c>b>a
C.c>a>b
D.a>c>b
ASY88000 1年前 已收到1个回答 举报

与稀离人 幼苗

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解题思路:由“当x∈(-∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立”知xf(x)是减函数,要得到a,b,c的大小关系,只要比较30.3
log
π
3,
log
3
1
9
的大小即可.

∵当x∈(-∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立
即:(xf(x))′<0,
∴xf(x)在 (-∞,0)上是减函数.
又∵函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,
∴函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,
∴函数y=f(x)是定义在R上的奇函数
∴xf(x)是定义在R上的偶函数
∴xf(x)在 (0,+∞)上是增函数.
又∵30.3>1>
log π3>0>
log 3
1
9=-2,
2=−
log 3
1
9>30.3>1>
log π3 >0.
∴(−log3
1
9)•f(−log3
1
9)>30.3•f(30.3)>(logπ3)•f(logπ3)
即(log3
1
9)•f(log3
1
9)>30.3•f(30.3)>(logπ3)•f(logπ3)
即:c>a>b
故选C.

点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质;导数的乘法与除法法则.

考点点评: 本题考查的考点与方法有:1)所有的基本函数的奇偶性;2)抽象问题具体化的思想方法,构造函数的思想;3)导数的运算法则:(uv)′=u′v+uv′;4)指对数函数的图象;5)奇偶函数在对称区间上的单调性:奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反.本题结合已知构造出h(x)是正确解答的关键所在.

1年前

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