（2012•太原模拟）设函数f(x)＝a(x+1x)+2lnx，g(x)＝x2．

解题思路：（1）由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，两次求出的斜率相等列出关于切点的横坐标x的方程，求出切点的坐标，根据得出的切点坐标，同时由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程即可．
（2）通过解f′（x），求其单调区间，转化为恒成立问题求a的取值范围．

（1）若a＝
1
2时，
∵f′(x)＝
1
2(1−
1
x2)+
2
x=
x2+4x−1
2x2，g'（x）=2x
因为直线l与函数f（x）、g（x）的图象相切于同一点，
从而有：
x2+4x−1
2x2=2x（4分）
解得x＝1，x＝
1
4，（x=-1不在定义域内，故舍去）
又f'（1）=2，f（1）=1，
f′(
1
4)＝
1
2，f(
1
4)＝
1
16，
g'（1）=2，g（1）=1；
g′(
1
4)＝
1
2，g(
1
4)＝
1
16．
①当x=1时，则l的方程为：y=2x-1
②当x＝
1
4时，又因为点(
1
4，
1
16)也在f（x）的图象上，
所以l的方程为y＝
1
2x−
1
16．
综上所述直线l的方程为y=2x-1或y＝
1
2x−
1
16．
（2）∵f′(x)＝a(1−
1
x2)+
2
x=
ax2+2x−a
x2，
要使f（x）在[2，4]为单调增函数，则f′（x）≥0在[2，4]恒成立，
即
ax2+2x−a
x2≥0在[2，4]恒成立，即ax²+2x-a≥0在[2，4]恒成立，
又a（x²-1）≥-2x即a≥
2x
1−x2＝

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 对于已知函数单调性，求参数范围问题的常见解法；设函数f（x）在（a，b）上可导，若f（x）在（a，b）上是增函数，则可得f′（x）≥0，从而建立了关于待求参数的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是减函数，，则可得f′（x）≤0．