已知实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:(根号3a=1)+(根号3b+2)+(根号3c+3)≤3(根3)

这道题可以用逆向思维,反证法：
要证明(根号3a+1)+(根号3b+2)+(根号3c+3)≤3(根3),即要证明：
[(根号3a+1)+(根号3b+2)+(根号3c+3)]^2≤[3(根3)]^2
展开得：(3a+1)+(3b+2)+(3c+3)+2[根号(3a+1)(3b+2)]+2[根号(3a+1)(3c+3)]+2[根号(3b+2)(3c+3)]≤27；
而：(3a+1)+(3b+2)+(3c+3)＝3(a+b+c)+6=9；
再由均值不等式得：(3a+1)+(3b+2)>=2[根号(3a+1)(3b+2)]；
(3a+1)+(3c+3)>=2[根号(3a+1)(3c+3)]；
(3b+2)+(3c+3)>=2[根号(3b+2)(3c+3)]；
这三个不等式在3a+1=3b+2=3c+3时,取等号!
将这三个不等式相加：6(a+b+c)+16>=2[根号(3a+1)(3b+2)]+2[根号(3a+1)(3c+3)]+2[根号(3b+2)(3c+3)]
即：18>=2[根号(3a+1)(3b+2)]+2[根号(3a+1)(3c+3)]+2[根号(3b+2)(3c+3)]
综合上述,得到：(3a+1)+(3b+2)+(3c+3)+2[根号(3a+1)(3b+2)]+2[根号(3a+1)(3c+3)]+2[根号(3b+2)(3c+3)]≤27
两边再开根号,原命题得证!