已知函数f（x）=[1ax+1+b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函数

解题思路：（1）因为函数f（x）=

1

ax+1

+b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函数，利用函数的定义域为R时，奇函数在0处有定义则f（0）=0即可解的b的值；
（2）由题意利用函数的单调性的定义加以判断；
（3）由题意先求出函数y=f（x）+

a

f(x)

的解析式，利用“对勾”函数的单调性求出定义域下的函数值域．

（1）∵定义域为R，
∴f（0）=0，∴b=-
1/2]；

（2）是单调递增函数．
∵定义域为R，∴任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
f(x1)−f(x2)＝(
1
ax1+1−
1
2)−(
1
ax2+1−
1
2)=
ax2−ax1
(ax1+1)(ax2+1)
∵0＜a＜1，∴a^x₁＞a^x₂，a^x₂-a^x₁＜0，（a^x₁+1）（a^x₂+1）＞0
，∴
ax2−ax1
(ax1+1)(ax2+1)＜0，f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）=[1
ax+1−
1/2]，（0＜a＜1）是单调递增函数

（3）y=g（t）=t+[a/t，t∈(0，
1
2)
当

0＜a＜1

a≥
1
2⇒
1
4]≤a＜1时，y=g（t）在

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合；函数的值域．

考点点评： 此题考查了奇函数的性质，函数的单调性的定义，还考查了“对勾”函数的单调性及已知函数的定义域求解函数的值域．