一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10],在杯内放入一个清洁球,要求清洁球能擦净酒杯
一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10],在杯内放入一个清洁球,要求清洁球能擦净酒杯的最底部（如图）,则清洁球的最大半径为
设小球圆心（0,y0）
抛物线上点（x,y）
点到圆心距离平方为：
r2=x2+（y-y0）2=2y+（y-y0）2=y2+2（1-y0）y+y02
若r2最小值在（0,0）时取到,则小球触及杯底
故此二次函数的对称轴位置应在y轴的左侧,所以1-y0≥0⇒y0≤1,
所以0＜r≤1,从而清洁球的半径r的范围为
0＜r≤1
则清洁球的最大半径为 1
1．
不明白为什么若r2最小值在（0,0）时取到,则小球触及杯底?
设小球圆心（0,y0）
抛物线上点（x,y）
点到圆心距离平方为：
r2=x2+（y-y0）2=2y+（y-y0）2=y2+2（1-y0）y+y02
若r2最小值在（0,0）时取到,则小球触及杯底
故此二次函数的对称轴位置应在y轴的左侧,所以1-y0≥0⇒y0≤1,
所以0＜r≤1,从而清洁球的半径r的范围为
0＜r≤1
则清洁球的最大半径为 1
1．
不明白为什么若r2最小值在（0,0）时取到,则小球触及杯底?
赞 t123456789 春芽
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当圆与抛物线相切时,切点到圆心的距离最小；
所以小球想与杯底部相切,则原点（0,0）为切点；
即：当y=0时,半径取得最小值；
因为二次函数r²=y²+2(1-y0)y+y²0,开口方向向上；因为y=1/2x²,所以y≧0;
所以当y≧0时,在y=0处取得最小,所以区间y≧0必在对轴称：y=-(1-y0)的右侧,
所以1-y0≥0
所以小球想与杯底部相切,则原点（0,0）为切点；
即：当y=0时,半径取得最小值；
因为二次函数r²=y²+2(1-y0)y+y²0,开口方向向上；因为y=1/2x²,所以y≧0;
所以当y≧0时,在y=0处取得最小,所以区间y≧0必在对轴称：y=-(1-y0)的右侧,
所以1-y0≥0
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