一道高中双曲线数学问题,谢谢已知曲线C上任意一点P到两个定点F1〔-根号3,0〕和F2〔根号3,0〕的距离之和为4.〔1
一道高中双曲线数学问题,谢谢
已知曲线C上任意一点P到两个定点F1〔-根号3,0〕和F2〔根号3,0〕的距离之和为4.
〔1〕求曲线C的方程；〔2〕设过〔0,-2〕的直线l与曲线C交于C,D两点,且〔向量OC〕*〔向量OD〕=0〔O为坐标原点〕,求直线l的方程.追加悬赏.
已知曲线C上任意一点P到两个定点F1〔-根号3,0〕和F2〔根号3,0〕的距离之和为4.
〔1〕求曲线C的方程；〔2〕设过〔0,-2〕的直线l与曲线C交于C,D两点,且〔向量OC〕*〔向量OD〕=0〔O为坐标原点〕,求直线l的方程.追加悬赏.
赞 风是云彼岸 幼苗
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根据定义曲线C是一椭圆,设其方程为C：x^2/a^2+y^2/b^2=1
依题意有2a=4,2c= |F1 F2|=2√3,所以
a=2,c=√3,b^2=a^2-c^2=2^2-3=1
故曲线C的方程为
x^2/4+y^2=1
（2）直线L过点〔0,-2〕,可设其方程为 y=kx-2
直线L与曲线C方程联立消y得
（1+4k^2)x^2-16kx+12=0
设交点坐标为C（x1,y1）、D（x2,y2）,由韦达定理有
x1+x2=16k /(1+4k^2)
x1x2=12/(1+4k^2)
进而得
y1y2=(kx1-2)*(kx2-2)
= k^2x1x2-2 k(x1+x2)+4
= k^2*12/(1+4k^2)-2 k*16k /(1+4k^2)+4
=(4-4k^2)/(1+4k^2)
因为〔向量OC〕*〔向量OD〕=0,
所以,（x1,y1）*（x2,y2）=0即
x1x2+y1y2=0即
12/(1+4k^2)+ (4-4k^2)/(1+4k^2)=0
解方程得k=±2
故所求直线L的方程为
y=±2x-2
依题意有2a=4,2c= |F1 F2|=2√3,所以
a=2,c=√3,b^2=a^2-c^2=2^2-3=1
故曲线C的方程为
x^2/4+y^2=1
（2）直线L过点〔0,-2〕,可设其方程为 y=kx-2
直线L与曲线C方程联立消y得
（1+4k^2)x^2-16kx+12=0
设交点坐标为C（x1,y1）、D（x2,y2）,由韦达定理有
x1+x2=16k /(1+4k^2)
x1x2=12/(1+4k^2)
进而得
y1y2=(kx1-2)*(kx2-2)
= k^2x1x2-2 k(x1+x2)+4
= k^2*12/(1+4k^2)-2 k*16k /(1+4k^2)+4
=(4-4k^2)/(1+4k^2)
因为〔向量OC〕*〔向量OD〕=0,
所以,（x1,y1）*（x2,y2）=0即
x1x2+y1y2=0即
12/(1+4k^2)+ (4-4k^2)/(1+4k^2)=0
解方程得k=±2
故所求直线L的方程为
y=±2x-2
1年前
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