（2012•福州模拟）在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y29＝1（a＞0）与x轴的正半轴交于点P．点Q的坐标

（2012•福州模拟）在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

＝1（a＞0）与x轴的正半轴交于点P．点Q的坐标为（3，3），

=6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q且斜率为[3/2]的直线交椭圆C于A、B两点，求△AOB的面积．

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浩海之渔花朵

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解题思路：（Ⅰ）点P坐标为（a，0），由

•

＝6，知点Q坐标为（3，3），由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）法一：过点Q（3，3）且斜率为[3/2]的直线AB方程为y-3=[3/2(x−3)，设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由

＝1

3x−2y−3＝0

]得，8y²+12y-27=0.y1+y2＝−

，y1y2＝−

，|y1−y2|＝

，由此能求出△AOB的面积．
法二：过点Q（3，3）且斜率为[3/2]的直线AB方程为y-3=[3/2

(x−3)，设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由

＝1

3x−2y−3＝0

]，得2x²-2x-3=0，x1＝

，x2＝

1−

，|AB|=

×|x1−x2|=

，点O到直线AB的距离d=

9+4

，由此能求出△AOB的面积．

（Ⅰ）依题意，点P坐标为（a，0）．　（1分）
∵

OP•

OQ＝6，点Q坐标为（3，3），
∴3a+3×0=6，解得a=2．（3分）
∴椭圆C的方程为
x2
4+
y2
9＝1．（4分）
（Ⅱ）方法一：过点Q（3，3）且斜率为[3/2]的直线AB方程为y-3=[3/2(x−3)，
即3x-2y-3=0．（5分）
设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由

x2
4+
y2
9＝1
3x−2y−3＝0]，消去x并整理得，8y²+12y-27=0．（6分）
∴y1+y2＝−
3
2，y1y2＝−
27
8，（7分）
∴(y1−y2)2＝(y1+y2)2−4y1y2=[9/4+
54
4]=

点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

考点点评：本题考查椭圆方程的求法和求三角形面积．具体涉及到椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．

1年前

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