A是m×n矩阵,r(A)=m

知识点: 若A是实矩阵, 则 r(A^TA) = r(A).
证明方法: 齐次线性方程组 AX=0 与 A'AX=0 同解.
证明: 记A'=A^T
(1)设X1是AX=0的解, 则AX1=0
所以A'AX1=A'(AX1)=A'0=0
所以X1是A'AX=0的解.
故 Ax=0 的解是 A'AX=0 的解.
(2)设X2是A'AX=0的解, 则A'AX2=0
等式两边左乘 X2'得 X2'A'AX2=0
所以有 (Ax2)'(Ax2)=0
所以 AX2=0. [长度为0的实向量必为0向量, 此时用到A是实矩阵]
所以X2是AX=0的解.
故A'AX=0的解是AX=0的解.
(3) 综合(1)(2)知齐次线性方程组AX=0与A'AX=O是同解方程组.
故它们的基础解系所含向量的个数相同, 即有 n-r(A) = n-r(A'A)
所以 r(A)=rA'A)

这是因为我们能够证明r(A^TA)=r(A)=m
证明如下：
为了书写方便，我们将转置记为A'
考虑方程A'Ax=0，则x'A'Ax=0
而x'A'Ax=(Ax)'Ax=y'y>=0
上式要求等号成立就需满足Ax=0
即由A'Ax=0得出Ax=0
由方程组解的关系知 n-r(A'A)<=n-r(A) 所以r(A'A)>=r(A)
...