是否存在常数C,使得等式1x4+2x7+3x10+.+n(3n+1)=n(n+c)(n+2c+1)对任意正整数n恒成立?

首先要背这两个：
1+2+3+.+n=(n+1)n/2
1+4+9+...+n^2 = (2n+1)n(n+1)/6 （你可以验证下,证明可以用归纳法）
这题实际上可以把n(3n+1)拆开成3n^2+n
所以可以写成(3*1+1)+(3*4+2)+(3*9+3)+.+3n^2+n
这样再重新调整下顺序即
3×（1+4+9+.+n^2) + (1+2+3+...n)
用最上面我列的两个公式套进来：
3[(2n+1)n(n+1)/6] + (n+1)n/2
=n(n+1)^2
所以你上面那个表达式n(n+c)(n+2c+1),是不可能变成n(n+1)^2 （因为c要等于1了,但n+2c+1就不符合了.
这类题你可以先把
1+2^p+3^p+...+n^p ,p小于等于3的基本公式背住.
附加一句1+8+27+...n^3=(n(n+1))^2/4
然后看到是通项是多项式的话,就把它拆开来,套公式进去.像这里的n(3n+1)就可以拆开成3n^2+n

不存在，令n=n+1，得式子2 ，用式子2减去式子1，然后比较系数求C，得C不为整数，所以不存在。

不存在