关于隐函数求导问题理解的3个例子

1、由微分的运算法则d(u±v)=du±dv
这里d(x-y-e^y)=dx-dy-d(e^y)
有微分形式的不变性dy=dy,d(e^y)=e^ydy
所以可以得到dx-dy-e^ydy=0
2、方程arctan(y/x)=ln√(x²+y²)两边对x求导就是
(y/x)'/[1+(y/x)²]=[1/√(x+y²)][√(x²+y²)]'
[(xy'-y)/x²]/[(x²+y²)/x²]=[1/√(x²+y²)]{1/[2√(x²+y²)]}(x²+y²)'
(xy'-y)/(x²+y²)=(2x+2yy')/[2(x²+y²)]
这样可以解出y',再求y''
也可以通过微分求出dy/dx
3、对y求导啊
但是这里的y'是dy/dx,就是说y'是在对x求导,但是dx/dy以及d²x/dy²都是对y求导
d²x/dy²
=(dx/dy)'
=(1/y')'
=-(y')'/(y')²
=-y''(dx/dy)/(y')²
=-y''/(y')³
如果3阶的话,
d³x/dy³
=(d²x/dy²)'
=(-y''/(y')³)'
=-[(y'')'(y')³-3(y')²(y')'y'']/(y')^6
=-[y'''(dx/dy)(y')³-3(y')²y''(dx/dy)y''](y')^6
=-[y'''(y')²-3y'(y'')²]/(y')^6
=[3(y'')²-y'''y']/(y')^5