如图BD、CE是三角形ABC的两条高,AE=AD.求证:△ABC是等腰三角形.(用两种方法来证,一种利用全等,一种不利用
如图BD、CE是三角形ABC的两条高,AE=AD.求证:△ABC是等腰三角形.(用两种方法来证,一种利用全等,一种不利用全等
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证明：方法一（利用全等）
因为 BD,CE是三角形ABC的两条高,
所以 三角形ABD和三角形ACE都是直角三角形,角ADB=角AEC=直角,
又因为 角A公用,AD=AE,
所以 三角形ABD全等于三角形ACE,
所以 AB=AC,
所以 三角形ABC是等腰三角形.
方法二.（利用相似）
因为 角ADB=角AEC=直角,角A=角A,
所以 三角形ABD相似于三角形ACE,
所以 AE/AD=AC/AB,
因为 AE=AD,
所以 AC=AB,
所以 三角形ABC是等腰三角形.
因为 BD,CE是三角形ABC的两条高,
所以 三角形ABD和三角形ACE都是直角三角形,角ADB=角AEC=直角,
又因为 角A公用,AD=AE,
所以 三角形ABD全等于三角形ACE,
所以 AB=AC,
所以 三角形ABC是等腰三角形.
方法二.（利用相似）
因为 角ADB=角AEC=直角,角A=角A,
所以 三角形ABD相似于三角形ACE,
所以 AE/AD=AC/AB,
因为 AE=AD,
所以 AC=AB,
所以 三角形ABC是等腰三角形.
1年前 追问
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方法二。（利用线段中垂线的性质） 取BC中点M，连结DM, EM, 因为 BD, CE是三角形ABC的两条高， 所以 三角形ABD和三角形ACE都是直角三角形，BC是公用的斜边， 所以 DM=EM, 所以 点M在线段DE的中垂线上， 又因为 AD=AE, 所以 点A也在线段DE的中垂线上， 所以 直线AM是线段DE的中垂线，（线段中垂线的唯一性） 连结DE, 因为 AD=AE, 三角形ADE是等腰三角形， 又因 AM是DE的中垂线， 所以 AM是角DAE的平分线，即：AM是角BAC的平分线， 又因为 M是BC的中点，AM是BC边上的中线， 所以 三角形ABC是等腰三角形，AB=AC。
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