xiaoaiwenjie
幼苗
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(1)由点P(-1,3),⊙O的半径为b,则b^2=(-1)^2+3^2=10
又PA是⊙O的切线,A(-a,0),PA垂直于OA
所以:a^2-b^2=(-1+a)^2+(3-0)^2 解得:a=10
因此所求椭圆的方程为x^2/100+y^2/10=1.
(2) 存在这样的椭圆C满足条件;
设⊙O上任意一点P(m,n),则n^2=b^2-m^2,
PA^2/PF^2=[(m+a)^2+n^2]/[(m+c)^2+n^2]
=(m^2+2ma+a^2+b^2-m^2)/(m^2+2mc+c^2+b^2-m^2)
=(2ma+a^2+b^2)/(2mc+c^2+b^2)
=(2am+2a^2-c^2)/(2cm+a^2)
由题意可知若PA/PF为常数存在,则可设PA^2/PF^2=K(K为大于0的常数)
则2am+2a^2-c^2=K(2cm+a^2),整理得:(2a-2cK)m+(2a^2-c^2-Ka^2)=0(*)
因为m是[-b,b]内任意实数 ,方程(*)恒成立
因此:2a-2cK=0且2a^2-c^2-Ka^2=0,从而消去K得c^3-2a^2c+a^3=0
(c^3-a^2c)+(a^3-a^2c)=0,得(a-c)(c^2+ac-a^2)=0
因为a不等于c,所以c^2+ac-a^2=0
解得:c/a=(1/2)[(根号下5)-1]
所以存在这样的椭圆C,其离心率为(1/2)[(根号下5)-1].
1年前
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