有一个任意三角形ABC,M.N分别为AC.BC上任意点 ,求在AB上一点P,使得三角形PMN的周长最小

两种方法：
（1）作M关于AB的对称点M',连结M'N,交AB于一点,这一点即为所求的P点.
（2）作N关于AB的对称点N',连结MN',交AB于一点,这一点即为所求的P点.
证明如下：
作N关于AB的对称点N',连结MN',交AB于一点P；则AB垂直平分NN'
连接PN,则PN=PN'；
∴△PMN的周长为：C=MN+MP+PN=MN+MP+PN'=MN+MN'；
现在边AB上任取一点P',P'与P不重合；
连接P'M,P'N',P'N；则P'N=P'N'；
在△P'MN'中,有P'M+P'N'＜MN'.
∴在△P'MN的周长C'=MN+MP'+P'N=MN+MP'+P'N'＜MN+MN'=C；
即点P为所求的点

作M关于AB的对称点M'，连结M'N，交AB于一点，这一点即为所求的P点。