（2013•日照二模）设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（an-1）（an+3）=4Sn，其中Sn为数

（Ⅰ）∵（a_n-1）（a_n+3）=4S_n，当n≥2时，（a_n-1-1）（a_n-1+3）=4S_n-1，
两式相减，得
a2n−
a2n−1+2an−2an−1＝4an，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，又a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2．
当n=1时，（a₁-1）（a₁+3）=4a₁，∴（a₁+1）（a₁-3）=0，又a₁＞0，∴a₁=3．
所以，数是以3为首项，2为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ），a₁=3，d=2，∴a_n=2n+1．
设bn＝
4
an2−1]，n∈N^*；∵a_n=2n+1，∴an2−1＝4n(n+1)))
∴bn＝
4
4n(n+1)＝
1
n(n+1)＝
1
n−
1
n+1
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=(1−
1
2)+(
1
2−
1
3)+…+(
1
n−
1
n+1)=1−
1
n+1＜1．
又∵Tn+1−Tn＝
n+1
n+2−
n
n+1＝
1
(n+2)(n+1)＞0，∴Tn+1＞Tn＞Tn−1＞…＞T1＝
1
2，
综上所述：不等式
1
2≤Tn＜1成立．

点评：
本题考点： 数列的求和；等差关系的确定；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题考查裂项相消法求数列的和及利用定义证明等差数列．