在Rt△ABC中,AB＝BC＝5,∠ABC＝90º．一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处,将三角
在Rt△ABC中,AB＝BC＝5,∠ABC＝90º．一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处,将三角板绕点O旋三角板的两直角边分别交AB、BC或其延长线于点E、F,图①、②是旋转三角板所得图形的两种情况．
(2)三角板绕点O旋转,线段OE和OF之间有什么数量关系?用图①或图②加以证明．(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图③),当AP∶AC＝1∶4时,PE和PF有怎样的数量关系?证明你发现的结论．
(2)三角板绕点O旋转,线段OE和OF之间有什么数量关系?用图①或图②加以证明．(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图③),当AP∶AC＝1∶4时,PE和PF有怎样的数量关系?证明你发现的结论．
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：（1）△OFC是能成为等腰直角三角形,
①当F为BC的中点时,
∵O点为AC的中点,
：（1）△OFC是能成为等腰直角三角形,
①当F为BC的中点时,
∵O点为AC的中点,
∴OF∥AB,
∴CF=OF=52,
∵AB=BC=5,
∴BF=52,
②当B与F重合时,
∵OF=OC=52,
∴BF=0；
（2）如图1,连接OB,
∵由（1）的结论可知,BO=OC=52,
∵∠EOB=∠FOC,∠EBO=∠C,
∴△OEB≌△OFC,
∴OE=OF．
（3）如图3,过点P作PM⊥AB,PN⊥BC,
∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°,
∴∠EPM=∠FPN,
∵∠AMP=∠FNP=90°,
∴△PNF∽△PME,
∴PM：PN=PE：PF,
∵△APM和△PNC为等腰三角形,
∴△APM∽△PNC,
∴PM：PN=AP：PC,
∵PA：AC=1：4,
∴PE：PF=1：3．点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质,解题的关键在于作好辅助线,构建相似三角形和全等的三角形．
①当F为BC的中点时,
∵O点为AC的中点,
：（1）△OFC是能成为等腰直角三角形,
①当F为BC的中点时,
∵O点为AC的中点,
∴OF∥AB,
∴CF=OF=52,
∵AB=BC=5,
∴BF=52,
②当B与F重合时,
∵OF=OC=52,
∴BF=0；
（2）如图1,连接OB,
∵由（1）的结论可知,BO=OC=52,
∵∠EOB=∠FOC,∠EBO=∠C,
∴△OEB≌△OFC,
∴OE=OF．
（3）如图3,过点P作PM⊥AB,PN⊥BC,
∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°,
∴∠EPM=∠FPN,
∵∠AMP=∠FNP=90°,
∴△PNF∽△PME,
∴PM：PN=PE：PF,
∵△APM和△PNC为等腰三角形,
∴△APM∽△PNC,
∴PM：PN=AP：PC,
∵PA：AC=1：4,
∴PE：PF=1：3．点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质,解题的关键在于作好辅助线,构建相似三角形和全等的三角形．
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