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[[注:应用拉格朗日中值定理.]]]
证明
构造函数f(x)=sinx.(0＜x＜π)
由题设及拉格朗日中值定理可知:
f(x2)-f(x1)=f'(m)(x2-x1) (x1＜m＜x2)
f(x3)-f(x2)=f'(n)(x3-x2) (x2＜n＜x3)
具体的,就是
sin(x1)-sin(x2)=(cosm)(x1-x2)
sin(x2)-sin(x3)=(cosn)(x2-x3).
在(0,π)上,易知,cosx单调递减,
∴cosm＞cosn
即:[sin(x1)-sin(x2)]/(x1-x2)＞[sin(x2)-sin(x3)]/(x2-x3)
证明
构造函数f(x)=sinx.(0＜x＜π)
由题设及拉格朗日中值定理可知:
f(x2)-f(x1)=f'(m)(x2-x1) (x1＜m＜x2)
f(x3)-f(x2)=f'(n)(x3-x2) (x2＜n＜x3)
具体的,就是
sin(x1)-sin(x2)=(cosm)(x1-x2)
sin(x2)-sin(x3)=(cosn)(x2-x3).
在(0,π)上,易知,cosx单调递减,
∴cosm＞cosn
即:[sin(x1)-sin(x2)]/(x1-x2)＞[sin(x2)-sin(x3)]/(x2-x3)
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