高等数学试题1.要设计一个容量为8m3的长方体无盖水箱,问长、宽、高为多少时用料最省?

长a宽b深c
S=ab+2bc+2ac
V=abc=8
S=8/c+4/a+4/b
=4/(c/2)+4/a+4/b
=4[1/(c/2)+1/a+1/b)]
(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2≥0
x^2+y^2+z^2≥xy+yz+xz
x=y=z时,最小值x^2+y^2+z^2=3x^2
S=4{1/(c/2)+1/a+1/b)≥4[1/√(ac/2)+1/√(bc/2)+1/√ab)
1/(c/2)=1/a=1/b时,S最小=4*3/a=12/a
c/2=a=b时,2a^3=8
a^3=4 a=4^(1/3)
b=4^(1/3) c=2*4^(1/3)
这时用料最省

2*2*2最节省，正立方体最省材料

设底的面积为：aXa
高为：h=8/a2
这样用料就是：
a2+4XaXh=a2+32/a a的范围是（a>0）
也就是求这个函数(S=a2+32/a)的最小值,可以先求导
2a-32/a2=0
a3=16
然后就可以知道长高宽了