（2010•卢湾区二模）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个

解题思路：（1）设A1A=h，根据VABCD−A1C1D1＝VABCD−A1B1C1D1−VB−A1B1C1求得h，则A1A的长可得．（2）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则D，A1，B，C1坐标可知，设平面A1BC1的法向量，根据n⊥A1B，n⊥C1B求得A1B和C1B，联立方程组求得v和u，取w=2，得平面的一个法向量．在平面A1BC1上取点可得向量DC1，进而求得点D到平面A1BC1的距离

（1）设A₁A=h，由题设VABCD−A1C1D1＝VABCD−A1B1C1D1−VB−A1B1C1＝10，
得SABCD×h−
1
3×S△A1B1C1×h＝10，
即2×2×h−
1
3×
1
2×2×2×h＝10，
解得h=3．
故A₁A的长为3．
（2）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
由已知及（1），可知D（0，0，0），A₁（2，0，3），B（2，2，0），C₁（0，2，3），
设平面A₁BC₁的法向量为

n＝(u，v，w)，有

n⊥

A1B，

n⊥

C1B，
其中

A1B＝(0，2，−3)，

C1B＝(2，0，−3)，
则有



n•

A1B＝0


n•

C1B＝0即

2v−3w＝0
2u−3w＝0.
解得v＝
3
2w，u＝
3
2w，
取w=2，得平面的一个法向量

n＝(3，3，2)，且|

n|＝
22．
在平面A₁BC₁上取点C₁，可得向量

DC1=（0，2，3）
于是点D到平面A₁BC₁的距离d＝
|

n•

DC1|
|

n|＝
6
22
11．

点评：
本题考点： 点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离．