如图示，已知圆C：（x+1）2+y2=16，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM＝2

如图示，已知圆C：（x+1）²+y²=16，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足

＝2

，

•

＝0，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）过点A作AS⊥AC交曲线E于S，求|CS|；
（3）若Q是曲线E上的一个动点，求

•

的最大值与最小值．

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NBAmm 幼苗

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解题思路：（1）利用线段垂直平分线的性质推出 NC+NM=r=4＞AC，再利用椭圆的定义知，点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，利用待定系数法求出椭圆的方程；
（2）求出S的坐标，利用椭圆的定义，即可求解；
（3）表示出

•

，结合x的范围，可得结论．

（1）设点N的坐标为（x，y），
∵

AM＝2

AP，∴点P为AM的中点，
∵

NP•

AM＝0，∴NP⊥AM，∴NP是线段AM的垂直平分线，∴NM=NA，
又点N在CM上，设圆的半径是r，则r=4，
∴NC=r-NM，∴NC+NM=r=4＞AC，
∴点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，
∴2a=4，c=1，∴a=2，b=
3，
∴曲线E的轨迹方程是
x2
4+
y2
3＝1；
（2）x=1时，y=±
3
2，∴|AS|=[3/2]，∴|CS|=[5/2]；
（3）设Q（x，y），则

QC•

QA=（-1-x，-y）（1-x，-y）=x²-1+y²=2+
1
4

点评：
本题考点：椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．

考点点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合题，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

1年前

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