n阶方正A不是零矩阵 A的m次方为零 若方正AB=BA 证明丨A+B丨=丨B丨

设A的舒尔分解为A=QtDQ,其中Q是酉矩阵,D是上三角阵,Qt表示Q的共轭转置,则考虑C=QBQt,即QtCQ=B,由AB=BA,得QtDQQtCQ=QtCQQtDQ,即DC=CD,由于D是上三角的,和上三角矩阵可交换的矩阵一定也是上三角阵,从而C也是上三角阵,这说明B=QtCQ也是一个舒尔分解.由于A^m=O,从而A的极小多项式的根即A的特征值全为0,从而D的主对角线元素（A的特征值）都是0,因此,|A+B|=|Q||A+B||Qt|=|D+C|,由上D+C也是上三角阵,其对角线元素就是C的对角线元素,因此|D+C|=D+C的对角线元素的乘积=C的对角线元素的乘积=|C|=|B|,得证.

AB=BA说明可以A和B同时相似上三角化，而A的特征值全为0，所以结论成立