已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P使PA^2+PB^2+PC^2最小,并求出此最小值

设三角形的心为O
AP=A0+OP BP=BO+OP CP=CO+OP
AP^2+BP^2+CP^2=AO^2+OP^2+2AOOP+BO^2+OP^2+2BOOP+CO^2+OP^2+2COOP
=AO^2+BO^2+CO^2+3OP^2+2OP(AO+BO+CO)
=AO^2+BO^2+CO^2+3OP^2
以上均表示向量
当OP最小时,AP^2+BP^2+CP^2最小
即O,P重合时,AP^2+BP^2+CP^2最小
AP^2+BP^2+CP^2=AO^2+BO^2+CO^2=a^2

PA=PB=PC时，他们的平方和最小，最小值=[2*3^(1/2)/3*a]^2*3=12a^2

高中的吧
作AO垂直BC交于O
则以OA为x轴以OB为y轴建立坐标
这时有A(0,a),B(1/2*a,0),C(-1/2*a,0)
设P（x，y）
PA^2+PB^2+PC^2＝〔x^2-(y-a)^2〕+[(x-1/2*a)^2-y^2]+[(x+1/2*a)^2-y^2]=x^2-(y-a)^2-2y^2
快要停电了，明天给你继续
则有 x^2-(y-a)^2-2y^2-t=0