三角形ABC中,CB=CA,角ACB=90°,D为BA上任意一点,求证BD方+AD方=2CD方

如图,过D作DE⊥AC,DF⊥BC
∵DE⊥AC,DF⊥BC
∴AD^2=DE^2+AE^2,BD^2=BF^2+DF^2且四边形CEDF是矩形
∴AD^2+BD^2=DE^2+AE^2+BF^2+DF^2
在三角形ABC中
∵DE⊥AC,DF⊥BC
∴△AED∽△ACB△DFB∽△ACB
∵CB=CA,∠ACB=90°
∴∠A=∠B=45°
∴AE=DE,BF=DF
又∵四边形CEDF是矩形
∴DE=FC,CE=FD,
又∵AD^2+BD^2=DE^2+AE^2+BF^2+DF^2
∴AD^2+BD^2=2DE^2+2DF^2=2CD^2
∴AD^2+BD^2=2CD^2

过D作DE⊥AC，垂足为E；又过D作DF⊥BC，垂足为F，由AC⊥BC，及AC=BC易证△ADE及△DBF都是等腰直角三角形而DECF是矩形：AE=DE=FC，DF=BF=EC；
据勾股定理，BD²=DF²+BF²=2EC²；AD²=AE²+DE²=2DE²；而EC²+DE²=CD²...