已知sinx+siny＝13，求μ=siny-cos2x的最值．

解题思路：sinx+siny=[1/3]⇒siny=[1/3]-sinx，于是μ=siny-cos²x=(sinx−

1

2

)2-[11/12]；siny∈[-1，1]⇒-[2/3]≤sinx≤1，利用正弦函数的单调性可求得μ=siny-cos²x的最值．

∵sinx+siny=[1/3]，
∴siny=[1/3]-sinx，
∴μ=siny-cos²x
=[1/3]-sinx-cos²x
=[1/3]-sinx-（1-sin²x）
=(sinx−
1
2)2-[11/12]，
∵-1≤siny≤1，
∴-1≤[1/3]-sinx≤1，
解得：-[2/3]≤sinx≤1，
∴当sinx=-[2/3]时，μ_max=[4/9]，
当sinx=[1/2]时，μ_min=-[11/12]．

点评：
本题考点： 三角函数的最值．

考点点评： 本题考查三角函数的最值，考查正弦函数的单调性与最值，考查配方法，由-1≤siny=[1/3]-sinx≤1求得-[2/3]≤sinx≤1是关键，也是难点，属于中档题．

将siny用1/3-sinx取代所求式=1/3-sinx-(1-sin² x)=sin²x-sinx-2/3令sinx=t∈[-1,1]则所求式为二次函数t²-t-2/3对称轴t=1/2，开口向上在对称轴处有最小值，离对称轴最远处，t=-1有最大值4/3

原式=1/3 - sinx - (1-2sin^2x)=2sin^2x-sinx-2/3=2(sinx-1/4)^2-2/3-1/8
当sinx=-1时取得最大值2*(-1-1/4)^2-2/3-1/8=25/8-2/3-1/8=3-2/3=7/3

令sin x=t，则sin y=1/3 -t，由sin x，sin y的值域可得 -2/3≤t≤1，
z=sin y-cos² x=sin y-1 +sin² x=t² -t - 2/3=(t-1/2)²-11/12，
所以，当t= -2/3时，z=sin y-cos² x取最大值4/9。