已知m，n是关于x的方程（k+1）x2-x+1=0的两个实数根，且满足k+1=（m+1）（n+1），则实数k的值是___

解题思路：先根据一元二次方程的根与系数的关系得到mn与m+n的值，代入k+1=（m+1）（n+1），求出k的值，再根据根的判别式判断出k的取值范围，最后结合前者确定k的最终取值．

∵a=k+1，b=-1，c=1，m与n是方程的两根，
∴m+n=−
b
a=−
−1
k+1＝
1
k+1，
mn＝
c
a＝
1
k+1，
∴k+1=（m+1）（n+1）=mn+m+n+1=[1/k+1+
1
k+1+1=
2
k+1+1，
即得到方程k=
2
k+1]，
再化简得k²+k-2=0，
解得k₁=1，k₂=-2，
又∵△=b²-4ac=（-1）²-4（k+1）×1=-4k-3≥0，
∴k≤−
3
4，且k≠-1
∴k=-2．

点评：
本题考点： 根与系数的关系；一元二次方程的定义；根的判别式；解分式方程．

考点点评： 此题不仅考查了根的判别式的应用，还利用了根与系数的关系以及解分式方程，有一定的难度．

解 ：由题设 m,n是关于x的方程（k+1）x²-x+1=0的两个实数根
根据韦达定理得 m+n=1/(k+1) ，mn =1/(k+1)；
又 k+1=(m+1)(n+1) 得 k+1=mn+(m+n)+1
=1/(k+1)+1/(k+1)...

m+n = 1/(k+1)
m*n = 1/(k+1)
k+1=(m+1)(n+1) = m*n + (m+n)+1= 2/(k+1) + 1
令k+1=t
则t=2/t + 1通分得
t的平方-t-2=0
则(t-2)(t+1)=0
t=2或t=-1,
则k=1或k=-2

k+1=(m+1)(n+1)
=mn+m+n+1
k=mn+m+n
k=1/(k+1)+1/(k+1) 维达定理
k=2/(k+1)
k^2+k-2=0
得k1=-2,k2=1
k2=1代入后，原方程无实数根，舍去

m+n = 1/(k+1)
m*n = 1/(k+1)
k+1=(m+1)(n+1) = m*n + (m+n)+1= 2/(k+1) + 1
so (k-2)(k+1)=0
so k = -2 OR k = 1