如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AC⊥BD，AP=AB=2，BC= 2 2 ，E是PC的中点．

解法一：（Ⅰ）如图以A为坐标原点，AB，AP
所在直线分别为x，z轴建立空间直角坐标系．
∵ AP=AB=2，BC=2
2 ，AC⊥BD，
在Rt△ABC中，由射影定理得 AD=
2
3
3 ，则AD：DC=1：2
∴A（0，0，0），B（2，0，0）， C(2，2
2 ，0) ， D(
2
3 ，
2
2
3 ，0) ，P（0，0，2）
又E是PC的中点，∴ E(1，
2 ，1)
∴

PC =(2，2
2 ，-2)，

BE =(-1，
2 ，1)，

DE =(
1
3 ，

2
3 ，1) ，
∴

PC •

BE =-2+4-2=0 ，

PC •

DE =
2
3 +
4
3 -2=0
∴

PC ⊥

BE ，

PC ⊥

DE ，
又DE∩BE=E，∴PC⊥平面BDE（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面BDE的法向量

n 1 =

PC =(2，2
2 ，-2) ，
平面BAP的法向量

n 2 =

BC =(0，2
2 ，0) ，∴

n 1 •

n 2 =8
设平面BDE与平面ABP的夹角为θ，
则 cosθ=|cos(

n 1 ，

n 2 )|=
|

n 1 •

n 2 |
|

n 1 ||

n 2 | =
8
4×2
2 =

2
2 ，∴θ=45°，
∴平面BDE与平面ABP的夹角为45°（12分）
解法二：

（Ⅰ）∵在Rt△PAB中，AP=AB=2，
∴ PB=
A P 2 +A B 2 =2
2 =BC
又E是PC的中点，∴BE⊥PC，
∵PA⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC
∴PA⊥BD，∵AC⊥BD，又AP∩AC=A
∴BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，
∴BD⊥PC，又BE∩BD=B，∴PC⊥平面BDE（6分）
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，
∴BC⊥平面BAP，BC⊥PB，
又由（Ⅰ）知PC⊥平面BDE，
∴直线PC与BC的夹角即为平面BDE与平面BAP的夹角，
在△PBC中，PB=BC，∠PBC=90°，∠PCB=45°
所以平面BDE与平面BAP的夹角为45°（12分）