设定义在实数集R上的函数f(x)＝e^-x/a+a/e^-x.(1)f(x)可能是奇函数么?(2)若f(x)是偶函数,探
设定义在实数集R上的函数f(x)＝e^-x/a+a/e^-x.(1)f(x)可能是奇函数么?(2)若f(x)是偶函数,探究其单调性
赞 乔微微 幼苗
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f(x)=e^-x/a+a/e^-x=1+(ae^x)^2/ae^x
f(-x)=e^x/a+a/e^x=e^2x+a^2/ae^x
若f(x)能为奇函数,则f(x)=-f(-x)
即1+(ae^x)^2=-e^2x-a^2 ,易知此式不可能成立,所以不可能是奇函数
若是偶函数,则f（x）=f（-x）
1+(ae^x)^2=e^2x+a^2 易知a=±1
① 当a=1时,f(x)=e^x+e^-x,f'(x)=e^x-e^-x,令f‘（x）=0,得x=0
所以当x∈（0,+∞）时,f'(x)＞0,f(x)单调递增；当x∈（-∞ ,0)时,f’(x)
f(-x)=e^x/a+a/e^x=e^2x+a^2/ae^x
若f(x)能为奇函数,则f(x)=-f(-x)
即1+(ae^x)^2=-e^2x-a^2 ,易知此式不可能成立,所以不可能是奇函数
若是偶函数,则f（x）=f（-x）
1+(ae^x)^2=e^2x+a^2 易知a=±1
① 当a=1时,f(x)=e^x+e^-x,f'(x)=e^x-e^-x,令f‘（x）=0,得x=0
所以当x∈（0,+∞）时,f'(x)＞0,f(x)单调递增；当x∈（-∞ ,0)时,f’(x)
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