不等式难题求最小实数m,使对于满足a+b+c=1的任意正实数a,b,c都有m(a^3+b^3+c^3)>=6(a^2+b
不等式难题
求最小实数m,使对于满足a+b+c=1的任意正实数a,b,c都有
m(a^3+b^3+c^3)>=6(a^2+b^2+c^2)+1
请大侠们速答
求最小实数m,使对于满足a+b+c=1的任意正实数a,b,c都有
m(a^3+b^3+c^3)>=6(a^2+b^2+c^2)+1
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最小实数m=27,
令a=b=c=1/3得,m>=27,
当m=27时,我们来证明,
27(a^3+b^3+c^3)>=6(a^2+b^2+c^2)+1 (1)
3(a^3+b^3+c^3)-(a^2+b^2+c^2)=3(a^3+b^3+c^3)-(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=
(a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2>=0
而3(a^2+b^2+c^2)-1=3(a^2+b^2+c^2)-（a+b+c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0.
所以9(a^3+b^3+c^3)>=3(a^2+b^2+c^2)>=1.
即可证明(1)了.
令a=b=c=1/3得,m>=27,
当m=27时,我们来证明,
27(a^3+b^3+c^3)>=6(a^2+b^2+c^2)+1 (1)
3(a^3+b^3+c^3)-(a^2+b^2+c^2)=3(a^3+b^3+c^3)-(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=
(a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2>=0
而3(a^2+b^2+c^2)-1=3(a^2+b^2+c^2)-（a+b+c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0.
所以9(a^3+b^3+c^3)>=3(a^2+b^2+c^2)>=1.
即可证明(1)了.
1年前
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