求方程7x+19y=213的所有正整数解．

用方程
7x+19y=213①
的最小系数7除方程①的各项，并移项得
x=[213-9y/7]=30-2y+[3-5y/7]②
因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．则
y=[3-7u/5=-u-+
3-2u
5]③，
令[3-2u/5]=v，则2u+5v=3．④
由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2，
代入②得x=25．于是方程①有一组解x₀=25，y₀=2，
所以它的一切解为

x=25-19t
y=2+7t，
由于要求方程的正整数解，所以

25-19t＞0
2+7y＞0，
解不等式得t只能取0，1，因此得原方程的正整数解为：


x=25
y=2和

x=6
y=9．

点评：
本题考点： 解二元一次方程．

考点点评： 本题考查了二元一次方程的解法，此题运用辗转法求解，难度比较大．