（1）当p=4分之5,b=1时,求a,c的在三角形中,已知sinA+sinC=p sin B(p∈R）,且ac=4分之1

(1)∵sinA+sinC=PsinB等价于(a+c)=p× b
∴代入P=5/4,b=1得：a+c=5/4 —— ①
∵根据题意又已知ac=(1/4)bb
∴同理代入P=5/4,b=1得：ac=1/4—— ②
∴结合①②解得：a=1 ,c=1/4 或a=1/4 ,c=1
(2)∵sinA＋sinC＝PsinB,
∴结合正弦定理,容易得出：a＋c＝Pb,
两边平方,得：a^2＋c^2＋2ac＝P^2b^2,
而ac＝（1/4）b^2,
∴a^2＋c^2＋（1/2）b^2＝P^2b^2,
∴a^2＋c^2＝p^2b^2－（1/2）b^2.
∵B是锐角,∴cosB＞0,
而由余弦定理,有：cosB＝（a^2＋c^2－b^2）/（2ac）,
∴［p^2b^2－（1/2）b^2－b^2］/［（1/2）b^2］＞0,　显然有：b＞0,
∴2P^2－1－2＞0,　∴P^2＞3/2,
∴P＜－√6/2,或P＞√6/2.
∴此时满足条件的P的取值范围是（－∞,－√6/2）∪（√6/2,＋∞）
又由三角函数定义可知∵cosB＜1,
∴［p^2b^2－（1/2）b^2－b^2］/［（1/2）b^2］＜1
由此可得：－√2＜P＜√2
∴此时满足条件的P的取值范围是（－√2,√2）
综上所得：即满足条件的的P的取值范围是（－√2,－√6/2）∪（√6/2,√2）.
希望能够帮助到你!
有不明白的地方欢迎追问.祝你学习进步!

由条件有
a+c=pb
ac=b^2/4
又因B为锐角,b^2=a^2+c^2-2acCOS(B)0)
前两式代入,不难得到
P^2>1/2
或p>根号(2)/2 (因p>0)