已知导数求原函数：对数函数的核心方法
在微积分中，从已知导数反求原函数（即不定积分）是一项核心技能。对于基本初等函数，掌握其求原函数的公式至关重要。在对数函数方面，关键在于理解其导数形式并逆向运用。最基本且必须牢记的公式是：∫(1/x) dx = ln|x| + C。这个公式之所以重要，是因为导数 (ln x)' = 1/x，它揭示了倒数函数1/x的原函数正是自然对数函数。需要注意的是，由于定义域为x≠0，结果中通常带有绝对值符号以保证其广泛适用性。
对数相关函数的积分拓展
基于核心公式，我们可以推导出更多与对数相关的积分形式。一种常见情形是：∫(1/(ax+b)) dx，其中a≠0。这里可以通过凑微分法求解，令u = ax+b，则du = a dx，从而原积分等于(1/a)∫(1/u) du，最终结果为(1/a) ln|ax+b| + C。另一种重要的拓展是处理真分式积分，例如∫(f'(x)/f(x)) dx。这种形式直接对应着导数公式 (ln|f(x)|)' = f'(x)/f(x)，因此其原函数就是 ln|f(x)| + C。这个结论在求解复杂分式积分时极为有效。
综上所述，求解涉及对数的原函数，核心是熟练运用∫(1/x) dx = ln|x| + C这一基本公式，并掌握其两种主要拓展形式：线性分母的积分以及“导数除以原函数”形式的积分。将这三种模式融会贯通，便能有效解决一大类可化为对数形式的求原函数问题，是积分运算中不可或缺的工具。