常用的等价无穷小代换有什么？
在微积分求极限的过程中，等价无穷小代换是一个极为重要的工具。它的核心思想是：在求乘除运算的极限时，可以将复杂的无穷小函数替换为与之等价的、更简单的无穷小函数，从而简化计算。常用的等价无穷小代换公式大多源于几个基本的极限，当自变量x趋向于0时，以下代换成立：sin x ~ x，tan x ~ x，arcsin x ~ x，arctan x ~ x，ln(1+x) ~ x，e^x - 1 ~ x，以及重要的1-cos x ~ (1/2)x^2。此外，由二项式展开衍生出的(1+x)^α - 1 ~ αx (α为常数) 也极为常用。
使用原则与进阶代换
使用等价无穷小代换必须遵循一个关键原则：它通常只适用于整个表达式的乘除因子，对于加减项中的无穷小，直接代换可能导致错误，除非它们满足一定的精度条件（即代换后相减不为0）。例如，在极限lim(x→0) (tan x - sin x)/x^3中，不能直接将tan x和sin x都换成x，因为相减为0，失去了关键的高阶信息。正确做法是先将tan x - sin x合并为sin x(1/cos x - 1)，再利用1-cos x ~ (1/2)x^2进行代换。
除了上述基础代换，还有一些常用的复合形式或推广形式，例如：当φ(x)→0时，有sin φ(x) ~ φ(x)，ln(1+φ(x)) ~ φ(x)等。另一个重要的代换是a^x - 1 ~ x ln a (a>0, a≠1)。掌握这些基本和进阶的等价无穷小关系，并理解其适用条件，能极大地提高求解函数极限的效率和准确性，是学习微积分必须熟练掌握的基本技能。