cos15°的精确值：一个优雅的分式
在三角函数中，15°角是一个特殊且有趣的角，因为它不是常见的基本特殊角（如30°、45°、60°），但其三角函数值却可以用精确的分式形式表示。具体来说，cos15°等于(√6 + √2)/4。这个结果并非凭空而来，它可以通过多种严谨的数学方法推导得出，体现了三角函数公式的巧妙与和谐。
推导方法与过程
最常用的推导方法是利用两角差的余弦公式。我们知道15°可以表示为45°与30°的差，即15° = 45° - 30°。根据公式cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ，将α=45°、β=30°代入计算：cos15° = cos45°cos30° + sin45°sin30°。已知cos45°=√2/2，cos30°=√3/2，sin45°=√2/2，sin30°=1/2。代入后得到：cos15° = (√2/2)*(√3/2) + (√2/2)*(1/2) = (√6/4) + (√2/4) = (√6 + √2)/4。
另一种方法是利用半角公式。因为15°是30°的一半，所以cos15° = cos(30°/2) = √[(1 + cos30°)/2] = √[(1 + √3/2)/2] = √[(2+√3)/4] = √(2+√3)/2。这个形式与(√6+√2)/4是等价的，可以通过平方运算进行相互验证。这两种推导殊途同归，最终都指向同一个简洁而优美的分式表达式。