圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S,则它的底面半径为多少时,才能使饮料罐的体积最大?...

设圆柱的高为h,则圆柱的表面积为s=2πr的平方+2πrh,则h=（s/2πr）-r,
则柱体体积为V=πr的平方h=πr的平方乘以（s-2πr的平方）/2πr=-πr的立方+1/2rs,是一个关于r的三次函数
求导,v导=-3πr的平方+1/2s=-3π（r的平方-s/6π）=-3π（r-根号下s/6π）乘以（r+根号下s/6π）
因为r大于0,所以由函数的单调性知,当x属于（0,根号下s/6π）时原函数为增函数,当x属于（根号下s/6π,正无穷）时原函数为减函数,所以当r=根号下s/6π时v有最大值

S=2pi*R^2+2pi*R*h=2pi*R(R+h)
h=S/(2pi*R) - R
V=pi*R^2*h
=pi*R^2*[S/(2pi*R) - R]=(1/2)SR-pi*R^3
V'=dV/dR=(1/2)S-3pi*R^2
let V'=0, R=sqrt(S/(6pi)),此时dV/dR有极值。
V''= -6piR<0 对任意R>0...

设圆柱的高为h，底面半径为r，则表面积S=2πrh+2πr2
令V′(r)=0S=6πr26πr2=2πrh+2πr2h=2r.
即当罐的高与底直径相等时，体积最大.