（2010•重庆一模）已知向量OA＝(mcosα，msinα)(m≠0)，OB＝(−sinβ，cosβ)．其中O为坐标原

解题思路：（Ⅰ）设它们的夹角为θ，利用向量的数量积公式表示出cosθ，将已知条件α＝β+

π

6

代入，利用特殊角的三角函数值求出两个向量的夹角．
（II）利用向量模的坐标公式将已知条件转化为m²+1+2msin（β-α）≥4对任意的α，β恒成立，通过对m分类讨论，求出
m²+1+2msin（β-α）的最小值，令最小值大于等于4，求出m的范围．

（Ⅰ）设它们的夹角为θ，则
cosθ＝


OA•

OB
|

OA||

OB|＝
m(−cosαsinβ+sinαcosβ)
m＝sin(α−β)=sin
π
6＝
1
2，
故θ＝
π
3…（6分）．
（Ⅱ）由|

AB|≥2|

OB|
得（mcosα+sinβ）²+（msinα-cosβ）²≥4
即m²+1+2msin（β-α）≥4对任意的α，β恒成立…（9分）
则

m＞0
m2

点评：
本题考点： 数量积表示两个向量的夹角；函数恒成立问题．

考点点评： 求向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式来解决；解决不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值来解决．