以边长为 a的正三角形ABC的中心为圆心作图,使所作园在各边上所截得的对90度的圆心角,求阴影部分面积

圆心O是正三角形ABC的中心 ==> OM=1/3AM=√3/6*a
(AM是正三角形ABC的BC上的中线、垂线、角平分线,点O是正三角形ABC的三边的中线、垂线、角平分线的交点)
又OI=OJ,角IOJ=90° ==> OI=OJ=√(2*OM^2)=√6/6*a
即圆半径为√6/6*a
求扇形OIJ的面积：
=90/360 * r^2 * ∏
=1/24*a^2*∏
求三角形OIJ的面积：
=1/2*OI^2
=1/12*a^2
所以弓形OIJ的面积：
=扇形OIJ的面积-三角形OIJ的面积
=(∏-2)/24*a^2
所以阴影部分面积:
=圆O的面积-3*弓形OIJ的面积
=(√6/6*a)^2*∏ - 3*(∏-2)/24*a^2*∏
=(∏+6)/24 *a^2

圆半径为√6/6*a（系数是根号6除以6，具体自己算)，再根据求出的边长求弓形的面积（就是图中有三个未被三角形分割的部分），求法是扇形面积减去RT三角形，最后阴影部分面积是圆面积减去三倍的弓形面积。

设圆半径为r,有r×sin15°×2×2+r×√2＝a.
sin15°＝√（2-√3）／2.
代入化简得：r²＝a²／（14-8√3）
将图形分成三个等腰直角三角形和三个扇形，三个扇形的和是圆的1/4。
S＝3r²/2+πr²／4＝（3/2+π／4）a²／（14-8√3）.