等腰直角三角形 在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,点E在斜边AB上,且AE=2EB,点D是CB的中点,求

相似△,解析几何,都没学?证明这道题就要复杂多了.
如图,以AB为对称轴,再映射一个对称等腰RT△ABC',等到一个正方形ACBC',E是对角线AB的一个三等分点,取另一个三等分点F,连CF、C'F,延长CE交BC'于H
易得：∠CEA=∠CFE=∠C'FE (用全等△证明)
所以,C'F//EH,
又,E是BF的中点,所以H是BC'的中点
得,BH=CD
于是,RT△BCH全等于RT△CAD
所以：∠BCE=∠CAD
则,∠BCE+∠CDA=∠CAD+∠CDA=90度
所以,AD⊥CE

其实这个题目用解析几何做最快...以AB为X轴，过C向AB作垂线，垂足为F，以F为原点，FC为Y轴，几下就能算出来的。
不过这个是高中2年级的解法。
tal_wang 佩服一下 顺便说下在找纯几何解法时候我找到的一个性质:
AB的另外一个3等分点F,跟C连线,然后延长CB到H,使CH=2CB,再连AH,会发现CF同样垂直于AH~~...

不垂直…

证明：
过B作BF//AC交CE的延长线于F，设AD、CE交于点G
显然△ACE∽△BFE
所以AC/BF＝AE/BE＝2
所以BF＝AC/2＝BC/2
因为CD＝BC/2
所以CD＝BF
又因为AC＝BC，∠ACB＝∠CBF＝90°
所以△ACD≌△CBF
所以∠CAD＝∠BCF
因为∠ACF＋∠BCF＝90°