复变函数的问题 res(cos[1/(1-z)],1 )=?

不开口笑是痴人 1年前 已收到1个回答 举报
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shyghost 花朵

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因为是求z=1的留数,所以我们令u=z-1,求u=0点的留数.则
cos[1/(1-z)]=cos(-1/u)=cos(1/u)
用泰勒展开得到洛朗展开有
cos(1/u)=1-1/2*(1/u)^2+...
故1/u为0,所以留数为0.
故res(cos[1/(1-z)],1 )=0

1年前 追问

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不开口笑是痴人 举报

如果我设k=1/(1-z) 求cosk 在K=无穷点 的留数 这样可不可以？？

举报 shyghost

留数是用路径积分来定义的，所以你在做变换的时候要考虑变换后函数会变成什么样， 比如原来的函数是 int cos[1/(1-z)]dz 那么你做k=1/(1-z)的变换后，dz也会变为1/k^2 dk， 所以你应该求 1/k^2cosk在无穷的留数，而不是cosk的留数。（虽然它们都是0……）
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