已知函数f（x）=2x2+3（a2+a）lnx-8ax

解题思路：（I）f′（x）=4x+

3(a2+a)

x

-8a=

4(x-a)2-a2+3a

x

，则f′（3）=4（3-a）²-a²+3a=0，验证求a；
（II）f′（x）=4x+

3(a2+a)

x

-8a=

4x2-8ax+3(a2+a)

x

，讨论f′（x）的单调性，从而求解．

（Ⅰ）f′（x）=4x+
3(a2+a)
x-8a=
4x2-8ax+3(a2+a)
x
=
4(x-a)2-a2+3a
x，
∵x=3是f（x）的一个极值，
∴f′（3）=4（3-a）²-a²+3a=0，
解得，a=4或a=3；
而当a=3时，f′（x）≥0，故不成立，
当a=4时，满足条件，
故a=4．
（II）f′（x）=4x+
3(a2+a)
x-8a=
4x2-8ax+3(a2+a)
x
设g（x）=4x²-8ax+3（a²+a），△=16（a²-3a），
设g（x）=0的两根为x₁，x₂，（x₁＜x₂），
（1）当△≤0，即0≤a≤3时，
∴f（x）单调递增，满足题意；
（2）当△＞0，即a＜0或a＞3时，
①若x₁＜0＜x₂，则[3/4]（a²+a）＜0，即-1＜a＜0，
此时，f（x）在（0，x₂）上单调递减，
在（x₂，+∞）上单调递增，
而f′（x）在（0，+∞）上单调递增，
故不满足题意，
②若x₁＜x₂≤0，则

2a＜0

3
4(a2+a)≥0，
解得a≤-1，
此时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，满足题意；
③若0＜x₁＜x₂，则

2a＞0

3
4(a2+a)＞0，
则a＞0，
此时，f（x）在（0，x₁）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增，不满足题意；
综上所述，a的取值范围为（-∞，-1]∪[0，3]．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想，属于难题．

(1)a=4,（a=3要舍去！）
(2)a<3/13

f'(x)=4x+3(a^2+a)*1/x-8a=0
a^2-7a+12=0
a=3 a=4

求一阶导数
将x=3代入
3*4+3/3（a^2+a）-8a=0解就可以啦

令f'(x)=4x+3(a^2+a)*1/x-8a=0
由于f'(3)=0，a^2-7a+12=0 a=3 a=4

a=3, f'(x)=4x+36/x-24= (4/x)(x^2-6x+9)=(4/x)(x-3)^2
a=4, f'(x)=4x+60/x-24= (4/x)(x^2-6x+15)

当a=3时，f(x)在其导函数的单调区间上也是单调的