已知函数f（x）=ax2+bx+c满足f（1）=1，f（-1）=-1．（1）求实数b值；（2）若不等式f（x）≥-2恒成

解题思路：（1）由 函数f（x）=ax2+bx+c满足f（1）=1，f（-1）=-1，可得a+b+c=1，a-b+c=-1，由此解得 b 的值．（2）由f（x）≥-2恒成立，可得 ax2+x+2-a≥0 恒成立，故有a＞0△ ＝ 1 − 4a(2−a)≤0，解不等式组求得实数a的取值范围．（3）由函数y=f（x）存在最大值M（a），故a＜0，且最大值 M（a）=−4a2−14a=（-a）+（ −14a），利用基本不等式求得M（a）的最小值．

（1）∵函数f（x）=ax²+bx+c满足f（1）=1，f（-1）=-1，
∴a+b+c=1，a-b+c=-1，解得 b=1，且 a+c=0．
（2）由上知 f（x）=ax²+x-a，
∵不等式f（x）≥-2恒成立，
∴ax²+x+2-a≥0 恒成立，
∴

a＞0
△ ＝ 1 − 4a(2−a)≤0，解得 0＜a≤1+

3
2．
故实数a的取值范围为 {a|0＜a≤1+

3
2 }．
（3）由函数y=f（x）存在最大值M（a），f（x）=ax²+x-a，
故a＜0，且最大值 M（a）=
−4a2−1
4a=（-a）+（
−1
4a）≥2

1
4=1，
当且仅当 （-a）=（
−1
4a），即 a=-
1
2 时，等号成立，
故M（a）的最小值为1．

点评：
本题考点： 二次函数的性质；函数的最值及其几何意义．