（2014•山东）设函数f（x）=alnx+[x−1/x+1]，其中a为常数．

解题思路：（Ⅰ）根据导数的几何意义，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-f（1）=f′（1）（x-1），代入计算即可．
（Ⅱ）先对其进行求导，即f′(x)＝

a

x

+

2

(x+1)2

，考虑函数g（x）=ax²+（2a+2）x+a，分成a≥0，-[1/2]＜a＜0，a≤-[1/2]三种情况分别讨论即可．

f′(x)＝
a
x+
2
(x+1)2，
（Ⅰ）当a=0时，f′(x)＝
2
(x+1)2，f′（1）=[1/2]，f（1）=0
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=[1/2]（x-1）．
（Ⅱ）（1）当a≥0时，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）当a＜0时，令f′（x）＞0，则[a/x+
2
(x+1)2]＞0，整理得，ax²+（2a+2）x+a＞0，
令f′（x）＜0，则[a/x+
2
(x+1)2]＜0，整理得，ax²+（2a+2）x+a＜0．
以下考虑函数g（x）=ax²+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.△＝8a+4＝8(a+
1
2)，对称轴方程x＝−
a+1
a．
①当a≤-[1/2]时，△≤0，∴g（x）＜0恒成立．（x＞0）
②当-[1/2]＜a＜0时，此时，对称轴方程x＝−
a+1
a＞0，
∴g（x）=0的两根均大于零，计算得
当
−(a+1)+
2a+1
a＜x＜
−(a+1)−
2a+1
a时，g（x）＞0；
当0＜x＜
−(a+1)+
2a+1
a或x＞

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 导数是高考中极易考察到的知识模块，导数的几何意义和导数的单调性是本题检查的知识点，特别是单调性的处理中，分类讨论是非常关键和必要的，分类讨论也是高考中经常考查的思想方法．