（2014•滨州一模）已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）

解题思路：（Ⅰ）把a=2代入函数解析式，求导后求得f′（e）的值，再求出f（e）的值，由直线方程的点斜式求得切线方程；
（Ⅱ）构造辅助函数g（x）=f（x）-1-a(1−

1

x

)，利用导数求得该函数的最小值，由最小值大于等于0证得答案．

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2lnx+1，
f′(x)＝
2
x，f（e）=3，k＝f′(e)＝
2
e．
∴函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y-3=[2/e(x−e)，
即2x-ey+e=0；
（Ⅱ）证明：令g(x)＝f(x)−1−a(1−
1
x)=alnx−a(1−
1
x)(x＞0)，
则g′(x)＝
a
x−
a
x2＝
a(x−1)
x2]，由g′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴g（x）在x=1处取得极小值，也是最小值，
因此g（x）≥g（1）=0，即f(x)−1≥a(1−
1
x)．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查利用导数研究曲线的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，训练了函数构造法，是中档题．