solomicky
幼苗
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解题思路:(I)先求导函数f′(x)=3ax
2+2x-1,要使f(x)在(2,+∞)上是否存在单调递增区间,即需要f′(x)在(2,+∞)上存在子区间使f′(x)>0,根据a>0,f′(x)=3ax
2+2x-1是开口向上的抛物线,可证结论;
(II)令f′(x)=3ax
2+2x-1=0,求得
x1=,
x2=(x1<x2),可知f(x)在(-∞,x
1)上单调递增,在(x
1,x
2)上单调递减,在(x
2,+∞)上单调递增,根据f(x)在
(,+∞)上单调递增,可得
x2≤,从而可求实数a的取值范围.
(I)f′(x)=3ax2+2x-1
f(x)在(2,+∞)上是否存在单调递增区间,即f′(x)在(2,+∞)上存在子区间使f′(x)>0
∵a>0,f′(x)=3ax2+2x-1是开口向上的抛物线
∴f′(x)在(2,+∞)上存在子区间使f′(x)>0
∴f(x)在(2,+∞)上存在单调递增区间;
(II)令f′(x)=3ax2+2x-1=0,∴x1=
−1−
1+3a
3a,x2=
−1+
1+3a
3a(x1<x2)
∵a>0,∴f(x)在x1处取极大值,在x2处取极小值,
∴f(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增
∵f(x)在(
1
3,+∞)上单调递增,∴x2≤
1
3
∴
−1+
1+3a
3a≤
1
3
∴
1+3a≤a+1
∴a2-a≥0
∵a>0,∴a≥1
∴实数a的取值范围是a≥1
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题以函数为载体,考查函数的单调性,考查导数的运用,确定函数的单调性,建立不等式是解题的关键.
1年前
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