已知等比数列{a n }的前n项和为 S n =( 1 3 ) n -c ，正数数列{b n }的首项为c，且满足： b

（Ⅰ） a 1 =
1
3 -c ， a 2 =(
1
3 ) 2 -
1
3 =-
2
9 ， a 3 =(
1
3 ) 3 -(
1
3 ) 2 =-
2
27 （3分）
因为{a _n }为等比数列所以a ₂ ² =a ₁ a ₃ ，得c=1（4分）
经检验此时{a _n }为等比数列．（5分）
（Ⅱ）∵ b n+1 =
b n
1+2 b n (n∈N*)
∴
1
b n+1 =
1
b n +2(n∈N*)
数列 {
1
b n } 为等差数列（7分）
又S ₁ =b ₁ =c=1，所以
1
b n+1 =
1
b 1 +(n-1)×2=2n-1(n∈N*)
所以 b n =
1
2n-1 （n∈N ^* ）（10分）
（Ⅲ） T n =
1
2 (
1
b 1 -
1
b 2 +
1
b 2 -
1
b 3 +…+
1
b n -
1
b n+1 )=
1
2 (1-
1
2n+1 )=
n
2n+1 （12分）
假设存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T ₁ ，T _m ，T _n 成等比数列
则
1
3 ×
n
2n+1 =(
m
2m+1 ) 2 ，所以 n=
3 m 2
-2 m 2 +4m+1
由n＞m＞1得
3 m 2
-2 m 2 +4m+1 ＞m 且-2m ² +4m+1＞0
即

2 m 2 -m-1＞0
2 m 2 -4m-1＜0 ，所以

m＞1或m＜-
1
2
1-

6
2 ＜m＜1+

6
2
因为m为正整数，所以m=2，此时n=12
所以满足题意的正整数存在，m=2，n=12．（15分）