1 |
x |
f(x) |
芝麻单飞 幼苗
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(1)由等式的logyy(1−
1
x)=logy(x+3),则y(1−
1
x)=x+3
即y=
x(x+3)
x−1
由题意知
x>0
y>0且y≠1
1−
1
x>0,解得x>1,∴f(x)=
x(x+3)
x−1的定义域是(1,+∞).
令x-1=t,则x=t+1,且t>0,y=
(t+1)(t+4)
t=t+
4
t+5,根据基本不等式得出函数f(x)的值域是[9,+∞).
(2)若存在满足题意的实数m,则关于x的方程mf(x)-
f(x)+1=0在区间(1,+∞)上有实解
令
f(x)=u,则由(1)知u∈[3,+∞)
问题转化为关于u的方程mu2-u+1=0在区间[3,+∞)上有实解,
化为:m=-[1
u2+
1/u=−(
1
u−
1
2)2+
1
4]又
1
u∈(0,
1
3],
所以m∈(0,
2
9],
即存在满足题意的实数m,其取值范围是(0,
2
9].
点评:
本题考点: 函数与方程的综合运用.
考点点评: 本题属于函数与方程的综合问题,考查学生对数运算的能力、函数定义域的思想、值域的求法、方程有解问题的转化方法和分离变量的思想,考查学生的转化与化归能力.
1年前
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