在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．过点B作直线EF⊥BC，点P为线段AB上一动点（与点A，B均不重

解题思路：（1）易知四边形MCBN是矩形，△PNB是等腰直角三角形．矩形的对边MC=NB．等腰直角△PNB的两直角边PN=NB，即PN=CM；然后根据同角的余角相等证得∠MCP=∠NPB；最后由全等三角形的判定定理ASA证得△PCM≌△DPN；
（2）易知四边形MCBN是矩形，△PNB、△AMP是等腰直角三角形．根据全等三角形（△MCP≌△NDP）的对应边相等、勾股定理来求线段AP的长度．
（3）需要分类讨论：若点D在线段NB上（如图1），写出y与x的函数关系式；若点D在线段NB延长线上（如图2），写出y与x的函数关系式．

（1）证明：∵∠ACB=90°，EF⊥BC，
∴AC∥EF．
又∵MN∥BC，
∴四边形MCBN是矩形，
∴∠PMC=∠DNP=90°，MC=NB．
∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
∴∠PBN=∠NPB=45°，
∴NP=NB．
∴MC=NP．
又∵PD⊥PC，
∠MCP=∠DPN（同角的余角相等）．
在△PCM与△DPN中，

∠PMC＝∠DNP
MC＝NP
∠MCP＝∠DPN，
∴△PCM≌△DPN（ASA）；

（2）∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．
∴AB=
2．
同（1）：四边形MCBN是矩形，△PCM≌△DPN（ASA），则MC=NB，MP=ND．
∵∠A=∠PBN=45°，
∴∠MPB=∠A=45°，∠PBN=∠BPN=45°，
∴AM=PM，PN=NB，
∴AP=
2AM，BP=
2BN=
2MC．
∵BP=BD，
∴ND=NB+BD=MC+
2MC=MP=AM，即1-AM+
2（1-AM）=AM，
解得，AM=

2
2，
∴AP=
2AM=1；

（3）①若点D在线段NB上（如图1），S_{四边形PCBD}=S_矩形MCBN-2S_△PMC=1×（1-

2
2x）-2×[1/2]×（1-

2
2x）×

2
2x=[1/2]x²−
2x+1，即y=[1/2]x²−
2x+1；
②若点D在线段NB延长线上（如图2），连接CD．
S_{四边形PCBD}=S_梯形MCDN-S_△PMC-S_△PNB=[1/2]（MC+AM）•BC-[1/2]AM•MC-[1/2]MC•MC=[1/2]×1×1-[1/2]×


2
2x×（1-

2
2x）-[1/2]（1-

2
2x）（1-

2
2x）=

2
4x，即y=

2
4x．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评： 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点．解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解．