（2014•山西模拟）关于函数f（x）=e |x|x2+1（x∈R）有下列命题：

由已知，函数f（x）=e
|x|
x2+1的定义域为R，又因为f（-x）=e
|−x|
(−x)2+1=e
|x|
x2+1=f（x），所以函数f（x）是偶函数，所以①正确；
当x＞0时，f（x）=e
x
x2+1，所以f′（x）=e
x
x2+1(
x
x2+1)′=e
x
x2+1
1−x2
(x2+1)2，
令f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）上是增函数，令f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）上是减函数，所以②不对；
因为f（x）是偶函数，所以函数f（x）在（0，+∞）上的最大值就是其在定义域上的最大值，由刚才计算可知f（x）_max=f(1)＝e
1
2，所以③不对；
由刚才的计算可知，f（x）在（1，+∞）上是减函数，由偶函数的性质（偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反）可知，在区间（-∞，-1）上，函数f（x）是增函数，所以④正确．
故答案为：①④

点评：
本题考点： 函数的图象．

考点点评： 对于奇函数或偶函数，可以先研究其关于原点对称的一半区间上的性质，再利用其“对称性”将得到的性质进行转化，例如此题考查了偶函数的单调性、最值的性质．