刘老师请教一道线代问题：A,B均为n阶正定矩阵,则AB+BA是不是正定矩阵?
刘老师请教一道线代问题：A,B均为n阶正定矩阵,则AB+BA是不是正定矩阵?
A,B均为n阶正定矩阵,则AB+BA是不是正定矩阵?
A,B均为n阶正定矩阵,则AB+BA是不是正定矩阵?
赞 zhanhongxia 春芽
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设A,C为n阶正定矩阵,且B是矩阵方程AX+XA=C的唯一解,求证B是正定矩阵.
因为B是矩阵方程AX+XA=C的唯一解,且转置AB+BA=C后利用A,C对称知B^T也是矩阵方程的解,于是B=B^T.即B对称,如果B不正定,则存在非正特征值a,设其特征值为t(t≠0),则Ba=ta,转置后有a^TB=ta^T.则a^TCa=a^TABa+a^TBAa=2ta^TAa,则左边大于0,而右边非正,矛盾,故B正定.
因为B是矩阵方程AX+XA=C的唯一解,且转置AB+BA=C后利用A,C对称知B^T也是矩阵方程的解,于是B=B^T.即B对称,如果B不正定,则存在非正特征值a,设其特征值为t(t≠0),则Ba=ta,转置后有a^TB=ta^T.则a^TCa=a^TABa+a^TBAa=2ta^TAa,则左边大于0,而右边非正,矛盾,故B正定.
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