已知：2/b=1/a+1/c求证：a(b-c)xx+b(c-a)x+c(a-b)=0的两个根相等

证明：由已知得：
∵2/b=1/a+1/c
∴2=b/a+b/c
(ab+bc)/ac=2
ab+bc=2ac
∵在a(b-c)xx+b(c-a)x+c(a-b)=0中
Δ=[b(c-a)]*[b(c-a)]-4*a(b-c)*c(a-b)
=bb(aa-2ac+cc)-4*(aabc-abbc-aacc+abcc)
=(aabb+2*abbc+bbcc)+4*aacc-4*(aabc+abcc)
=(2ac)(2ac)+4*aacc-4ac(ab+bc)
=4*aacc+4*aacc-4*ac*(2ac)
=0
∴原方程有两个相等的根

你条件右边的式子表达不清楚。

一元二次方程Axx+Bx+C=0有两等根当且仅当D=BB-4AC=0
由已知推得2ac/(c+a)=b,b-c=c(a-c)/(c+a),a-b=a(a-c)/(c+a)
对于题中所涉方程，D=bb(c-a)(c-a)-4ac(b-c)(a-b)=
4aacc(c-a)(c-a)/(c+a)(c+a)-4ac*c(a-c)/(c+a)*a(a-c)/(c+a)=0.得证.