已知三角形ABC的三边a,b,c满足b+c=8,bc=a^2-12a+52.求证：三角形ABC是等腰三角形.

已知三角形ABC的三边a,b,c满足b+c=8,bc=a^2-12a+52.求证：三角形ABC是等腰三角形.
此题是一道有关于整式的数学奥赛题,请用平均值换元法.

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首先,将a^2-12a+52换成完整平方公式,得
bc=(a-6)^2+16
然后把b+c=8代入,得
b(8-b)=(a-6)^2+16
8b-b2-16=(a-6)2
最后得到一个两边都是完整平方公式的等式,
-(b-4)2=(a-6)2
但是由于一个数的平方一定大于等于0,从这个等式看,唯一的解就是两边都等于0.所以,b=4,a=6
由于b+c=8,所以c=4
由此得证,b=c,这个三角形是个等腰三角形

1年前

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